但前六年单位没给我交社保，公司应该负责吗？

公司应负责补缴。依据《社会保险法》，单位必须为在职员工办理社保，这是法定义务。若不及时补缴，可能影响您的社保待遇及退休权益。
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公司应补缴。操作如下：1.与公司沟通，要求补缴社保并说明法律依据；2.若公司拒绝，收集工作证明、社保缴纳记录等证据；3.向社保局提交仲裁申请，附上证据材料；4.等待仲裁结果，必要时可寻求法律援助。
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常见处理方式为与公司协商补缴，或向社保局申请仲裁。建议先与公司沟通，若协商无果，再向社保局申请仲裁以维护权益。